P4900食堂

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降智了。。。

P4900 食堂

方案一 \(O(n\sqrt n)\)：

首先可以考虑一下这个小数部分该如何处理，显然是可以利用这个高斯函数的性质的：\(\{p\}=p-[p]\)。

所以第 \(n\) 行的和就可以写作： \[ \begin{aligned} sum_n&=\sum_{i=1}^n\frac {n\mod i}i\\ &=\sum_{i=1}^n\frac ni-\sum i\times[\frac ni]\\ \end{aligned} \] 所以后面那个可以整数分块，前面的 \(O(n)\) 预处理，整体时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)，过不了的。

期望得分：\(50\) 分

方案二 \(O(n\log n)\)

考虑这一行的分子理论上应该是上一行的分子 \(+1\)，所以理论上是可以直接继承的，但是分子的值域却只能是 \([0,n)\)，所以要考虑剪去变成零的数的贡献，那么这个就应该是 \(\sigma(i)\)，就可以 \(O(n\log n)\) 预处理了。

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int mod = 998244353;
const int maxn = 1e6 + 10;
const char infile[] = ".in";
const char outfile[] = ".out";

inline int read()
{   
    int x(0), t(0);
    char o(getchar());
    while (o < '0' || o > '9') {
        if (o == '-') t = 1;
        o = getchar();
    }
    for (; o >= '0' && o <= '9'; o = getchar())
        x = (x << 1) + (x << 3) + (o ^ 48);
    return t ? -x : x;
}

inline void file ()
{
    freopen (infile, "r", stdin);
    freopen (outfile, "w", stdout);
}

int f[maxn], cnt[maxn], inv[maxn];

inline void init()
{
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i) 
        inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
    for (int i = 3; i < maxn; ++i)
        inv[i] = (inv[i] + inv[i - 1]) % mod;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i)
        for (int j = i << 1; j < maxn; j += i)
            cnt[j]++;
    for (int i = 3; i < maxn; ++i) {
        ll temp = ((f[i - 1] - f[i - 2]) % mod + mod) % mod + inv[i - 1];
        f[i] = (temp - cnt[i] + f[i - 1] + mod) % mod;
    }
}

int main()
{
    init();
    int t = read();
    while (t--) {
        int a = read(), b = read();
        printf ("%d\n", (f[b] - f[a - 1] + mod) % mod);
    }
}

方案三 \(O(n)\)

事实证明确实是可以 \(O(n)\) 的，就是一个线性筛就可以了。

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int mod = 998244353;
const int maxn = 1e6 + 10;
const char infile[] = ".in";
const char outfile[] = ".out";

inline int read()
{   
    int x(0), t(0);
    char o(getchar());
    while (o < '0' || o > '9') {
        if (o == '-') t = 1;
        o = getchar();
    }
    for (; o >= '0' && o <= '9'; o = getchar())
        x = (x << 1) + (x << 3) + (o ^ 48);
    return t ? -x : x;
}

inline void file ()
{
    freopen (infile, "r", stdin);
    freopen (outfile, "w", stdout);
}

int f[maxn], cnt[maxn], inv[maxn], sum[maxn];
int p[maxn], idx[maxn], tot;
bool vis[maxn];

inline void init()
{
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i)
    {
		inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
		sum[i] = (sum[i - 1] + inv[i]) % mod;
        if (!vis[i]) p[++tot] = i, idx[i] = 1, cnt[i] = 2;
        for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] < maxn; ++j)
        {
            vis[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0)
            {
                cnt[i * p[j]] = cnt[i] / (idx[i] + 1) * (idx[i] + 2);
                idx[i * p[j]] = idx[i] + 1;
                break;
            }
            cnt[i * p[j]] = cnt[i] << 1;
            idx[i * p[j]] = 1;
        }
		if (i == 2) continue;
		ll tmp = ((f[i - 1] - f[i - 2]) % mod + mod) % mod + sum[i - 1];
        f[i] = (tmp - (cnt[i] - 2) + f[i - 1] + mod) % mod;    
	}
}

int main()
{
    init();
    int t = read();
    while (t--) {
        int a = read(), b = read();
        printf ("%d\n", (f[b] - f[a - 1] + mod) % mod);
    }
}