矩阵
矩阵
基本概念
定义
由 \(m\times n\) 个数 \(a_{i,j}(i\in [1,m],j\in[i,n])\) 排成的 \(m\) 行 \(n\) 列的数表：
\[ \begin{pmatrix} a_{1, 1}&a_{1, 2}&\cdots&a_{1, n}\\ a_{2, 1}&a_{2, 2}&\cdots&a_{2, n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m, 1}&a_{m,2}&\cdots&a_{m,n} \end{pmatrix} \] 称为 \(m\times n\) 矩阵，记作： \[ A=\begin{pmatrix} a_{1, 1}&a_{1, 2}&\cdots&a_{1, n}\\ a_{2, 1}&a_{2, 2}&\cdots&a_{2, n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m, 1}&a_{m,2}&\cdots&a_{m,n} \end{pmatrix} \]
简记为： \[ A=A_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n} \]
通常用大写字母 \(A,B, C\) 来表示矩阵。
元素都是实数的矩阵称为实矩阵；
元素都是复数的矩阵称为复矩阵。
几种特殊的矩阵
行矩阵（行向量）
只有一行的矩阵： \[ A=(a_1, a_2, \cdots,a_n) \]
列矩阵（列向量）
只有一列的矩阵： \[ B= \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\ \vdots \\a_n \end{pmatrix} \]
零矩阵
元素全为零的矩阵，记作：
\[ 0\quad或\quad0_{m\times n} \]
方阵
行数与列数都相等的矩阵，记作： \[ A_n \]
上（下）三角形矩阵
主对角线下（上）方元素全部为零的 \(n\) 阶方阵。
对角阵
主对角线上不全为零，上下两个三角全为零的矩阵。 \[ \begin{vmatrix} \lambda_1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_2&\cdots&0\\ 0&0&\ddots&0\\ 0&0&0&\lambda_n \end{vmatrix} \]
单位矩阵（单位阵）
\[ E=E_n\begin{vmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ 0&0&\ddots&0\\ 0&0&0&1 \end{vmatrix} \]
数量矩阵
主对角线的元素全部相等的对角矩阵： \[ A=aE=\begin{vmatrix} a&0&\cdots&0\\ 0&a&\cdots&0\\ 0&0&\ddots&0\\ 0&0&0&a \end{vmatrix} \]
对称矩阵
元素关于主对角线对称的方阵，即： \[ a_{ij}=a_{ji} \]
反对称矩阵
元素关于主对角线互为相反数的方阵，即： \[ a_{ij}=-a_{ji} \]
同型矩阵与矩阵相等的概念
同型矩阵 两个矩阵的行数相等，列数相等。
矩阵相等 两个矩阵为同型矩阵，并且对应元素相等的两个矩阵。
矩阵的运算
矩阵的加法
定义
设 \(A,\;B\) 均为 \(m\times n\) 的矩阵，那么： \[ A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\\ \end{pmatrix}\\ A+B= \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+b_{n1}&a_{n2}+b_{n2}&\cdots&a_{nn}+b_{nn}\\ \end{pmatrix} \]
只有当两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算
运算规律
- \(A+B=B+A\)
- \((A+B)+C=A+(B+C)\)
- \(A+0=A\)
- \(A+(-A)=0,A-B=A+(-B)\)
其中，若： \[ A=(a_{ij}),\quad-A=(-a_{ij}) \]
矩阵的数乘
定义
\[ \lambda A=A\lambda = \begin{pmatrix} \lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda a_{n1}&\lambda a_{n2}&\cdots&\lambda a_{nn}\\ \end{pmatrix} \]
运算规律
\[ 1\times A=A\\ (\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\\ (\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\\ \lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B \]
矩阵的乘法
定义
设矩阵 \(A,\;B\) 的乘积为矩阵 \(C\) ，其中 ： \[ A=(a_{ij})_{m\times s}\quad B=(b_{ij})_{s\times n}\\ C=(c_{ij})_{m\times n}\\ c_{ij} = \sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj} \]
- 可乘条件：前列数 \(=\) 后行数
- 乘积类型：前行后列
运算规律
\[ (AB)C=A(BC)\\ A(B+C)=AB+AC\\ \lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\\ AE=EA=A\\ A0=0,\;0A=0 \]
矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下 \(AB\not= BA\)。
两个非零矩阵的乘积可为零矩阵（即矩阵乘法有零因子）。
矩阵乘法不满足消去律。
结论：
- 单位矩阵与同阶方阵相乘可换。
- 数量矩阵与同阶方阵相乘可换。
- 同阶对角矩阵相乘可换。
方阵的幂
定义
若 \(A\) 是 \(n\) 阶矩阵：\(A^k=\underbrace{AA\cdots A}_k,\quad A^0=E\)
运算规律
\[ A^mA^k=A^{m+k}\\ {(A^m)}^k=A^{mk} \]
其中 \(m,k\) 均为非负整数
方阵的多项式
设多项式函数：\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) ，则有：
\(f(A)=a_nA^n+\cdots+a_1A+a_0\)
若 \(A,B\) 在乘法运算中可以交换，那么： \[ (AB)^k=A^kB^k\\ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\\ (A+B)(A-B)=A^2-B^2 \]
矩阵的转置
定义
$$ A= \[\begin{vmatrix} a_{1, 1}&a_{1, 2}&\dots&a_{1, n}\\ a_{2, 1}&a_{2, 2}&\dots&a_{2, n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m, 1}&a_{m, 2}&\dots&a_{m, n}\\ \end{vmatrix}\quad\] A^= \[\begin{vmatrix} a_{1, 1}&a_{2, 1}&\dots&a_{m, 1}\\ a_{1, 2}&a_{2, 2}&\dots&a_{m, 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1, n}&a_{2, n}&\dots&a_{m, n}\\ \end{vmatrix}\]\
A^ $$
转置矩阵的运算性质
\[ \begin{align} &{(A^{\tau})}^\tau=A\\ &(A^\tau+B^\tau)=A^\tau+B^\tau\\ &(\lambda A)^\tau=\lambda A^\tau\\ &(AB)^\tau=A^\tau B^\tau\\ &A为对称矩阵：A^\tau=A\\ &A为反对称矩阵：A^\tau=-A \end{align} \]
方阵的行列式
定义
设 \(A_n\) 为 \(n\) 阶方阵，称 \(|A_n|\) 为方阵 \(A\) 的行列式。记作 \(|A|\) 或 \(\det(A)\) 。
运算性质
\[ \begin{align} &|kA|=k^nA\\ &|AB|=|A||B|\\ &|A^m|=|A|^m\\ &|-A|=(-1)^n|A|\\ &|A^T|=|A| \end{align} \]
方阵的迹
定义
设 \(A\) 为方阵， \[ A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}\\ 其中\sum_{i=1}^na_{ii} 称为方阵的迹，记作：\\ tr(A)=\sum_{i=1}^na_{ii} \]
运算性质
\[ \begin{align} &tr(A^\tau)=tr(A)\\ &tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\\ &tr(\lambda A)=\lambda tr(A)\\ &tr(AB)=tr(BA) \end{align} \]
矩阵的共轭
定义
设 \(A\) 为 \(m\times n\) 的矩阵，称： \[ \overline{A}=(\overline{a_{ij}})_{m\times n} \] 为矩阵 \(A\) 的共轭矩阵。
运算性质
\[ \begin{align} &(\overline{A+B})=\overline{A}+\overline{B}\\ &\overline{\lambda A}=\overline{\lambda}\;\overline{A}\\ &\overline{AB}=\overline{A}\;\overline{B} \end{align} \]