复数入门

Posted on 2021-02-07 Edited on 2026-03-02 In OI Word count in article: 2k Reading time ≈ 7 mins.

复数

(一) 复数

一.定义

若$i$符合方程$X^2+1=0$, 则$i$被称为虚数单位

复数$z=a+bi \left(a,b\in \mathbb{R}\right)$

$a$为实部, $b$为虚部, 记$:a=Re(z),b=Im(z)$

二.分类

当$b=0$时, 复数$z$为实数

当$b\ne0$时, 复数$z$为虚数

当$b\ne0$且$a=0$时, 复数$z$为纯虚数 \[ \mathbb{R}实数集\qquad\mathbb{P}虚数集\qquad\mathbb{C}复数集\qquad\mathbb{Q}纯虚数集 \\ \mathbb{R}\cap\mathbb{P}=\varnothing \qquad\mathbb{R}\cup\mathbb{P}=\varnothing\qquad \mathbb{Q}\subsetneqq\mathbb{P}\subsetneqq\mathbb{C} \]

三.法则

若有复数$z_1=a+bi\;,z_2=c+di\left(a,b,c,d\in\mathbb{R}\right)$

加法$:z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$

减法$:z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$

乘法$:z_1\cdot z_2 = (ac-bd)+(bc+ad)i$

除法$:\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)i}{c^2+d^2}$

四.定律

复数运算满足加法交换律,加法结合律,乘法交换律,乘法结合律,乘法分配律

五.共轭

当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 称这两个复数为共轭复数

特别的, 若虚部不为零时, 也称作互为共轭虚数

对于复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$, 共轭复数用$\overline{z}=a-bi(a,b\in\mathbb{R})$表示

性质:

\[ \begin{align*} &(1)\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\\ &(2)\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}\\ &(3)\overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\\ &(4)\overline{z^n}=\overline{z}^n\\ &(5)z+\overline{z}=2Re(z),\;z-\overline{z}=2iIm(z)\\ &(6)\overline{\overline{z}} = z\\ &(7)z=\overline{z}\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}\quad -z=\overline{z}且z\ne0\Leftrightarrow z\in\mathbb{Q} \end{align*} \]

六.几何

$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$与复平面上的点$Z(a,b)$是一一对应的。点$Z(a,b)$与向量$\vec{OZ}$也成一一对应关系，点 $Z$与$\vec{OZ}$均为复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$的几何形式

向量$\vec{OZ}$的模称为复数$Z$的模$\left\vert z \right\vert$，即 \[ r=\left\vert z\right\vert=\sqrt{a^2+b^2} \]

性质：

\[ \begin{align*} &(1)z\overline{z}=\left\vert z\right\vert^2=\left\vert \overline{z}\right\vert^2\\ &(2)\left\vert\left\vert z_1\right\vert-\left\vert z_2\right\vert\right\vert\leqslant\left\vert z_1\pm z_2\right\vert\leqslant\left\vert z_1\right\vert+\left\vert z_2\right\vert\\ &(3)\max(\left\vert Re(z)\right\vert,\left\vert Im(z)\right\vert)\geqslant\left\vert z\right\vert\geqslant\left\vert Re(z)\right\vert+\left\vert Im(z)\right\vert \end{align*} \]

七.表示形式

代数形式：$z=a+bi$，其中 $a,b\in \mathbb R$
几何形式：$z=a+bi\Rightarrow z(a,b)$，可以看由原点发出的向量 $\vec{OZ}$
三角形式：$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中 $r\ge0,\theta\in \mathbb R$
指数形式：$z=re^{i\theta}$，其中 $r\ge0,\theta\in \mathbb R$
- 有欧拉公式：$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

(二) 复数的模与辐角

设复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$ 所对应的向量为$\vec{OZ}$，我们称始边是$x$轴正半轴，终边是$\vec{OZ}$的角称为复数$z$的辐角，记作：$Arg\;z$

在 $[0,2\pi)$的辐角叫做复数$z$的辐角主值，记作：$\arg{z}$

且有： \[ Arg\;z=\arg{z}+2k\pi(k\in\mathbb{Z}) \] 当$z\in\mathbb{R}^*$时，有： \[ \arg{a}=0,\arg(-a)=\pi\\ \arg(ai)=\frac{\pi}{2},\arg(-ai)=\frac{3\pi}{2}\\ 注意：\text{0的辐角时任意的} \]

结论： \[ \begin{align*} &(1)Arg\;(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)\\ &(2)Arh(\frac{z_1}{z_2})=Arg(z_1)-Arg(z_2)\\ &(3)Arg(z^n)=nArg(z) \end{align*} \] 若复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R}且ab\ne0)$，则有： \[ \arg{z}=\begin{cases} \arctan(\frac{b}{a}) \text{，点$(a,b)$在第一象限}\\ \pi+\arctan(\frac{b}{a}) \text{，点$(a,b)$在第二、三象限}\\ 2\pi+\arctan(\frac{b}{a}) \text{，点$(a,b)$在第四象限}\\ \end{cases} \] 设复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$的模等于$r$，辐角为$\theta$

那么称$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$为复数$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$的三角式

运算

一.平方与开方

若$z_1=r_1(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1}),z_2=r_2(\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})$，则： \[ \begin{align*} z_1\cdot z_2&=r_1(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1})\cdot r_2(\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})\\ &=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)] \end{align*}\\ 即: 积的模为模的积，积的辐角为辐角的和 \] 复数的$n$次幂的模等于这个复数模的$n$次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的$n$倍(棣莫佛定理)，即：

\[ z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)) \]

二.除法

若$z_1=r_1(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1}),z_2=r_2(\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})$，则： \[ \begin{align*} \frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1})}{r_2(\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2})}\\ &=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)] \end{align*}\\ 即: 商的模为模的商，商的辐角为辐角的被除数减去除数的辐角 \]

三.开方

复数$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$的$n(n\in\mathbb{N}^*)$次方根为： \[ \sqrt[n]z=\sqrt[n]r(\cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i\sin(\frac{\theta+2k\pi}{n}))(k\in[0,n-1]\&k\in\mathbb{N}) \] 复数的$n$次方根为$n$个复数，模均为这个复数的模的$n$次算数平方根，辐角分等于这个数的辐角与$2\pi$的$0,1,2\cdots n-1$倍的和的$n$分之一

四.三角函数

复数$z=\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$，则： \[ \cos(n\theta)=Re(z^n)=\frac{z^{2n}+1}{2z^n}\\ \sin(n\theta)=Im(z^n)=\frac{z^{2n}-1}{2z^ni}\\ \tan(n\theta)=\frac{Im(z^n)}{Re(z^n)}=\frac{z^{2n}-1}{(z^{2n}+1)i} \]

(三) 复数与方程

一.实际方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$在复数集$\mathbb{C}$中有两个根

\[ x=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}(\Delta<0) \]

二.复平面上的曲线方程

若复数$z$对应着复平面上的一个点$Z(x,y)$，就可以得出一些常用曲线的复数形式的方程： \[ \begin{align*} &(1)方程\left\vert z-z_0\right\vert=r，表示以z_0为圆心，r为半径的圆\\ &(2)方程\left\vert z-z_1\right\vert=\left\vert z-z_2\right\vert，表示线段z_1z_2的垂直平分线\\ &(3)方程\left\vert z-z_1\right\vert+\left\vert z-z_2\right\vert=2a(a>0,2a>\left\vert Z_1Z_2\right\vert)，表示以Z_1Z_2为焦点，a为长半轴的椭圆\\ &\qquad若2a=\left\vert Z_1Z_2\right\vert，则此方程表示以Z_1Z_2为断点的线段\\ &(4)方程\left\vert \left\vert z-z_1\right\vert-\left\vert z-z_2\right\vert\right\vert=2a(0<2a<\left\vert Z_1Z_2\right\vert)表示以Z_1Z_2为焦点，实轴长为2a的椭圆 \end{align*} \]

(四)单位根

对于方程$x^n-1=0(n\in\mathbb{N}^*,n\geqslant2)$

由复数开方法则，就可以得到它的$n$个根 \[ \epsilon_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\qquad(k\in[0, n-1]) \] 他们显然是1的$n$次方根，称为$n$次单位根

利用复数乘方公式，有： \[ \epsilon_k=(\cos\frac{2\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n})^k=\epsilon_1^k \] 这说明，$n$个$n$次单位根可以表示为： \[ 1,\epsilon_1,\epsilon_1^2,\epsilon_1^3,\cdots\epsilon_1^{n-1} \] 关于$n$次单为根，性质如下： \[ \begin{align*} &(1)\left\vert\epsilon_k\right\vert=1\quad (k\in\mathbb{N})\\ &(2)\epsilon_j\epsilon_k=\epsilon_{j+k}\quad (j,k\in\mathbb{N})\\ &(3)\sum\limits_{i=0}^{n-1}\epsilon_1^i=0\quad (n\geqslant2)\\ &设m为整数，则：\\ &\sum\limits_{i=0}^{n-1}\epsilon_i^m=\begin{cases}n，当m时n的倍数\\ 0，当m不是n的倍数\end{cases} \end{align*} \]

(五) 复数与向量的应用

设复平面上两点$Z_1Z_2$对应的复数分别是$z_1,z_2$，那么两点的距离满足：

\[ \begin{align*} \left\vert Z_1Z_2\right\vert^2&=\left\vert z_1-z_2\right\vert^2\\ &=(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2})\\ &=\left\vert z_1\right\vert^2+|z_2|^2-(z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}) \end{align*} \]

二.设复平面上两点$Z_1,Z_2$应的复数分别是$z_1,z_2$，那么线段$Z_1Z_2$定比分点$Z$对应的复数可以表示为 \[ z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda} \]
三.设复平面上三个点$Z_1,Z_2,Z_3$应的复数分别是$z_1,z_2,z_3$，这三点共线的充要条件是存在不全为零的实数$\lambda_1\lambda_2\lambda_3$,使如下两式同时成立:

\[ \begin{cases} \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0\\ \lambda_1z_1+\lambda_2z_2+\lambda_3z_3=0 \end{cases} \]

四.设不共线的四点$A,B,C,D$对应的复数分别为$z_1,z_2,z_3,z_4$,则四点共圆的充要条件是:

\[ \frac{z_3-z_1}{z_4-z_1}=\frac{z_3-z_2}{z_4-z_2}=\lambda(\lambda\in\mathbb{R}且\lambda\ne0) \]

五.设不共线的三点$A,B,C$对应的复数$z_1,z_2,z_3$,则$\Delta ABC$的面积公式为:

\[ S_{\Delta ABC}=\frac{i}{4}\cdot \begin{vmatrix} 1&1&1\\ z_1&z_2&z_3\\ \overline{z_1}&\overline{z_2}&\overline{z_3} \end{vmatrix} \]