微波工程笔记

前言

我得承认现阶段不能很深刻的理解每一个公式的含义，目前这篇博客的目的仅仅是为了方便查找公式。

本书采用的是 \(\text{MKS}\) 单位制，即用米作为长度单位，用千克作为质量单位，用秒作为时间单位。且带上标的书写体表示的是矢量场，表示坐标 \(x, y, z\) 和时间变量 \(t\) 的实函数。

有如下定义：

​ \(\bar{\mathcal E}\) 电场强度，单位： \(\mathrm{V/m}\)

​ \(\bar{\mathcal H}\) 磁场强度，单位： \(\mathrm{A/m}\)

​ \(\bar{\mathcal D}\) 电位移矢量，单位： \(\mathrm{C/m^2}\) （电通量密度）

​ \(\bar{\mathcal{B}}\) 磁感应强度，单位：\(\mathrm{Wb/m^2}\) （磁通量密度）

​ \(\bar{\mathcal M}\) （虚拟的）磁流密度，单位：\(\mathrm{V/m^2}\) （暂时不理解）

​ \(\bar{\mathcal J}\) 电流密度，单位： \(\mathrm{A/m^2}\)

​ \(\rho\) 电荷密度，单位： \(\mathrm{C/m^3}\)

在真空中，电、磁场强度与其通量有如下关系： \[ \bar{\mathcal B}=\mu_0\bar{\mathcal H}\\ \bar{\mathcal D}=\epsilon_0\bar{\mathcal E} \] 其中 \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\mathrm{H/m}\) 是真空磁导率， \(\epsilon_0=8.854\times10^{-12}\mathrm{F/m}\) 是真空介电常数。

麦克斯韦方程组

\[ \require{textcomp} \begin{aligned} \nabla\times\bar{\mathcal{E}}&=\frac{-\partial\bar{\mathcal{B}}}{\partial t}-\bar{\mathcal M}\\ \nabla\times\bar{\mathcal H}&=\frac{\partial \bar{\mathcal D}}{\partial t}+\bar{\mathcal J}\\ \nabla\cdot\bar{\mathcal D}&=\rho\\ \nabla\cdot\bar{\mathcal B}&=0 \end{aligned} \]

应为任何矢量的旋度的散度都为零，故有： \[ \nabla\cdot\nabla\times\bar{\mathcal E}=0=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\bar{\mathcal B})-\nabla\cdot\bar{\mathcal M} \] 又因为不存在自由磁荷，故可以得到 \(\nabla\cdot\bar{\mathcal M}=0\) ，即可以得到 \(\nabla\cdot\bar{\mathcal B} = 0\)。类似得，可以从式 \(\mathrm{(3)}\) 中得到： \[ \begin{aligned} \nabla\cdot\bar{\mathcal J}+\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\bar{\mathcal D}) &= 0\\ \Rightarrow\nabla\cdot\bar{\mathcal J}+\frac{\partial\rho}{\partial t} &= 0 \end{aligned} \]

散度定理

\[ \int\limits_{V}\nabla\cdot\bar A\mathrm dv=\oint\limits_{S}\bar A\mathrm d\bar s \]

要证明： \[ \begin{aligned} \iiint\limits_{(v)}(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm dV=\iint\limits_{(S)}P\;\mathrm dy\;\wedge\;\mathrm dz+Q\;\mathrm dz\;\wedge\;\mathrm dx+R\;\mathrm dx\wedge\mathrm dy\\ \end{aligned} \] 只需证明： \[ \iiint\limits_{(V)}\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm dV=\iint\limits_{(S)}R\;\mathrm dx\;\wedge\;\mathrm dy\\ \] 考虑左式，有： \[ \begin{aligned} \iiint\limits_{(V)}\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm d V&=\iint\limits_{(\sigma_{xy})}\mathrm d\sigma\int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)}\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm d z\\ &=\iint\limits_{(\sigma_{x,y})}\{R\;[x,\; y,\; z_2(x,\;y)]-R\;[x\;,y\;,z_1(x\;,y)]\}\mathrm d\sigma \end{aligned} \] 再考虑右式： \[ \begin{aligned} \quad\iint\limits_{(S)}R\;\mathrm dx\;\wedge\;\mathrm dy =&\iint\limits_{(S_{上 })}R\;\mathrm dx\;\wedge\;\mathrm d y+\iint\limits_{(S_{侧})}R\;\mathrm dx\;\wedge\;\mathrm d y+\iint\limits_{(S_{下})}R\;\mathrm dx\;\wedge\;\mathrm d y\\ =&\iint\limits_{(\sigma_{xy})}R\;[x,\; y,\; z_2(x,\;y)]\mathrm d\sigma+0+\iint\limits_{(\sigma_{xy})}-R\;[x,\; y,\; z_1(x,\;y)]\mathrm d\sigma\\ =&\iint\limits_{(\sigma_{xy})}\{R\;[x,\; y,\; z_2(x,\;y)]-R\;[x\;,y\;,z_1(x\;,y)]\}\mathrm d\sigma \end{aligned} \] 即可以得到 左式 = 右式 ，再利用 \(\nabla\) 算子转化为向量形式即可。

斯托克斯定理

\[ \int\limits_{S}(\nabla\times\bar A)\cdot\mathrm d\bar s=\oint\limits_{C}\bar A\cdot\mathrm d\bar {\mathscr l} \]

这个的证明稍后。。。先🕊一下。。。

应用

\[ \begin{aligned} \oint_S\bar D\cdot\mathrm d\bar s&=\int_V\rho\mathrm dv=\mathcal Q\\ \oint_S\bar B\cdot\mathrm d\bar s&=0\\ \end{aligned}\\ \]

\[ \oint_C\bar{\mathcal E}\cdot \mathrm d\bar l=-\frac{\partial}{\partial t}\int_S\bar{\mathcal B}\cdot\mathrm ds-\int_S\bar{\mathcal M}\cdot\mathrm d \bar s\\ \oint_C\bar{\mathcal H\cdot\mathrm d\bar l}=\frac{\partial}{\partial r}\int_S\bar{\mathcal D}\cdot\mathrm d\bar s+\int_S\bar{\mathcal J}\cdot\mathrm d\bar s=\frac\partial{\partial r}\int_S\bar D\cdot\mathrm d\bar s+\mathcal I \]

引入复数，可以得到： \[ \bar{\mathcal E}=\hat xE_1\cos(\omega t+\phi_1)+\hat yE_2\cos(\omega t+\phi_2)+\hat zE_3\cos(\omega t+\phi_3)\\ \Rightarrow\bar E=\hat xE_1e^{j\phi_1}+\hat yE_2e^{j\phi_2}+\hat zE_3e^{j\phi_3} \] 可以得到其振幅平方的平均值： \[ \begin{aligned} \left|\bar{\mathcal E}\right|_{av}^2&=\frac 1T\int_0^T\bar{\mathcal E}\cdot\bar{\mathcal E}\;\mathrm dt\\ &=\frac 1T\int_0^T\left[E_1^2\cos^2(\omega t+\phi_1)+E_2^2\cos^2(\omega t+\phi_2)+E_3^2\cos^2(\omega t+\phi_3)\right]\\ &=\frac12(E_1^2+E_2^2+E_3^2)=\frac12|\bar{E}|^2=\frac12\bar E\cdot\bar E^* \end{aligned} \] 所以可以得到其均方根值 \(|\bar E|_{rms}=\frac {|\bar E|}{\sqrt 2}\)。

故，在时间依赖关系 \(e^{j\omega t}\) 的假设下，向量形式的麦克斯韦方程组有： \[ \begin{aligned} \nabla\times\bar{E}&=-j\omega\bar B-\bar M\\ \nabla\times\bar H&=jw\bar D+\bar J\\ \nabla\cdot\bar D&=\rho\\ \nabla\cdot\bar B&=0 \end{aligned} \]

感觉在电磁理论基础不够的条件下继续这样看公式的意义不大，所以打算先暂停这本书的学习，先把重点放在 \(\mathrm {HFSS}\) 和 电磁理论基础 上。第一章后面的部分感觉都是利用麦克斯韦方程组解决一些相对实际的问题。